برای اثبات اینکه زاویه‌های مجاور قاعده در مثلث متساوی‌ساقین برابرند، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:
1. **تعریف مثلث متساوی‌ساقین**: مثلث متساوی‌ساقین مثلثی است که دو ضلع آن برابرند. فرض کنیم مثلث ABC را داشته باشیم که در آن AB = AC.
2. **زاویه‌های مجاور**: ما می‌خواهیم نشان دهیم که زاویه‌های زاویه B و زاویه C برابرند، یعنی \( \angle B = \angle C \).
3. **خط عمود از رأس**: از راس A یک خط عمود به قاعده BC می‌کشیم و نقطه تقاطع را D نامگذاری می‌کنیم. بنابراین AD عمود بر BC است.
4. **مثلث‌های مثلثی**: حالا دو مثلث ABD و ACD را در نظر بگیرید:
- در مثلث ABD: AB = AC (چرا که ما فرض کردیم).
- AD = AD (چرا که یک خط است).
- BD = CD (چرا که AD عمود و D میانه C و B است).
5. **استفاده از قاعده کنج**: با توجه به دو مثلث ABD و ACD که دو ضلع و زاویه بین دو ضلع برابرند، طبق قاعده مثلث‌های هم‌نهش (مثلث‌های هم‌پوشان)، داریم:
\( \angle ABD = \angle ACD \)
6. **نتیجه‌گیری**: بنابراین به این نتیجه می‌رسیم که زاویه‌های مجاور قاعده در مثلث متساوی‌ساقین برابرند:
\( \angle B = \angle C \)
این اثبات نشان می‌دهد که در مثلث متساوی‌ساقین، زاویه‌های قاعده با یکدیگر برابرند.
